Question

【题目】已知函数，都在处取得最小值.

（1）求的值；

（2）设函数，的极值点之和落在区间，，求的值.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1)先求 ，再求 ，列式可得导函数变化规律，确定单调性，得到最小值取法，即得 ，再根据在 处取得最小值得a，最后求的值；(2)求导数，再求导函数的导数，根据导函数单调性以及零点存在定理得确定零点个数及其范围，最后确定极值点之和范围，进而得到k的值.

详解：（1），令得，则，的变化情况如下表：

	-		+
		极小值

∴当时，函数取得最小值，∴，；

当时，函数是增函数，在没有最小值，当时，，

当且仅当，即，有最小值，

∴.

（2），，设，

∵，∴当时，即单调递减，

当时，即单调递增，

由（1）得，∴时，，单调递增.

时，，单调递减，∴在有唯一极大值点；

∵，，在单调递增，

∴在存在唯一实数，使得，

∴时，，单调递减，时，，单调递增，

∴函数在有唯一极小值点；

∵，∴，，

∵，，

∴存在自然数，使得函数的所有极值点之和.