Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′(x)＜

1

2

，则关于x的不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集为（　　）

• A、（-1，1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：根据条件构造F（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，利用导数研究函数的单调性，
然后将不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

可转化成f（x）-

x

2

-

1

2

＜0=f（1）-

1

2

-

1

2

，
即F（x）＜F（1），根据单调性建立关系，解之即可．

解答：解：令F（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，又f′(x)＜

1

2

，
则F′（x）=f′（x）-

1

2

＜0
∴F（x）在R上单调递减
∵f（1）=1
∴不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

可转化成f（x）-

x

2

-

1

2

＜0=f（1）-

1

2

-

1

2

即F（x）＜F（1）
根据F（x）在R上单调递减，则x＞1
解得x∈（1，+∞）．
故选：B．

点评：本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及利用构造法新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．