Question

如图，已知点A是椭圆的右顶点，若点在椭圆上，且满足．（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当时，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由点在椭圆上，知，由，知，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，知，利用点差法得到直线，由此能求出△OMN面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵点在椭圆上，
∴，
∵，
∴，解得a=3，∴b=1．
∴椭圆的方程为=1．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵，
∴，
设直线，
由，得：4y²-6ny+3n²-1=0
则，
∴，
点O到直线l的距离d=，
∴S=
=
≤=．
当且仅当3n²=4-3n²，n=±．
∵m∈（0，2），∴m=．
∴当m=时，△OMN面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法和等价转化思想的合理运用．