Question

已知函数f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，g（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b的取值范围是（　　）

A．（2， 17 8 ]

B．[1，+∞）

C．[ 17 8 ，+∞）

D．[2，+∞）

Answer 1

∵函数f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1，（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

+

-3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

=-

(x-1)(x-3)

4x2

，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-

1

4

+

3

4

-1=-

1

2

；
∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，对称轴x=b，x∈[1，2]，
当b≤

3

2

时，g（x）在x=1处取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；
当b＞

3

2

时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；
∵对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当b≤

3

2

时，-

1

2

≥5-2b，解得b≥

11

4

，故b无解；当b＞

3

2

时，-

1

2

≥8-4b，解得b≥

17

8

，
综上：b≥

17

8

，
故选C；