Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°AB=AC=AA₁=1，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求异面直线AB与MN所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接AB₁、AC₁，利用四边形A₁B₁BA是正方形和三角形中位线定理即可得出MN∥AC₁．再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）由（1）可知 MN∥AC₁，故∠BAC₁或其补角为异面直线AB与MN所成角．再利用直三棱柱的性质和线面垂直的性质即可得出．

解答：（1）证明：连接AB₁、AC₁，由已知条件，四边形A₁B₁BA是正方形，点M也是AB₁的中点，
故有MN∥AC₁．
又∵MN?面A₁ACC₁，AC₁⊆面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．
（2）解：由（1）可知 MN∥AC₁，
故∠BAC₁或其补角为异面直线AB与MN所成角．
由直三棱柱的性质可得：AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥AB，
又AB⊥AC，AA₁∩AC=A．
∴AB⊥平面A₁ACC₁．
∴BA⊥AC₁．
故∠BAC₁=90°，
即异面直线AB与MN所成角大小为90°．

点评：本题考查了正方形的性质和三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的角、用直三棱柱的性质和线面垂直的性质等基础知识与基本技能方法，属于基础题．