Question

（2008•宝坻区一模）椭圆的中心在原点O，短轴长为2

3

，左焦点为F（-c，0）（c＞0），直线l：x=-

a2

c

与x轴交于点A，且|

AF

|=3|

FO

|，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程．
（2）若

PF

⊥

QF

，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）设

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意可得

a2

c

-c=3c，2b=2

3

，c²=a²+b²，解出即可；
（2）设PQ的方程为y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0），把方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用

PF

⊥

QF

?

PF

•

QF

=0即可得出．

解答：解：（1）设

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则c2+(

3

)2=a2，

a2

c

-c=3c，
解得a²=4，c=1，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设PQ的方程为y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0）
∵PF⊥QF，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
即(x1+1)(x2+1)+k2(x1+4)(x2+4)=0，(1+k2)x1x2+(1+4k2)(x1+x2)+(1+16k2)=0．(*)．
联立得

y=k(x+4) 3x2+4y2=12.

消去y，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，
由△＞0，得-

1

2

＜k＜

1

2

．
∴x1x2=

64k2-12

3+4k2

， x1+x2=-

32k2

3+4k2

．
代入（*）式化简，得8k²=1，∴k=±

2

4

．
则直线PQ的方程为y=±

2

4

(x+4)．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立到根与系数的关系、

PF

⊥

QF

?

PF

•

QF

=0等是解题的关键．