Question

（2011•韶关模拟）已知函数f(x)=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

．
（1）求函数的最小正周期及最小值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为 2cos（2x+

π

6

），由此求得函数的最小正周期，及最值．
（2）令2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ，求出x的范围，即可求得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

cos²x-2sinxcosx-

3

=

3

（cos2x+1）-sin2x-

3

…（2分）
=2cos（2x+

π

6

）…（4分）
故函数的最小正周期为π．…（6分）
当2x+

π

6

=

π

2

+2kπ(k∈Z)时，即x=

π

6

+kπ(k∈Z)时，函数有最小值-2．…（8分）
（2）令2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ，…（10分）
可得 kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，k∈Z，…（12分）
函数f（x）的单调递增区间为  [kπ-

7π

12

， kπ-

π

12

]，k∈Z．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性以及求法，求三角函数的单调区间，属于中档题．