Question

已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点.若原点在以线段为直径的圆内,
求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 椭圆的方程为
(Ⅱ)

(I)因为b=1,所以根据离心率可建立关于m的方程，求出m值，进而确定椭圆标准方程.
依题意,可知,且,
所以,
所以,即椭圆的方程为.  ………………5分
（II）解本小题的突破口是设,则原点在以线段为直径的圆内
等价于说(三点不共线)，也就等价于说,即.然后再把直线方程与椭圆方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，借助韦达定理及判别式来解决即可.
设,则原点在以线段为直径的圆内
等价于说(三点不共线)
也就等价于说,即…① ……………7分
联立,得,
所以,即……②
且………………………10分
于是
代入①式得,,即适合②式……………12分
又,所以解得即求. …………………13分