题目内容
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
（1）
＝1.（2）PQ的斜率为定值1
【解析】(1)由题设，得
＝1，①且
＝
，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1.
若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)，与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝
，即x1＝
.
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝
.
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝
＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．
练习册系列答案
相关题目
－y2＝1的一个焦点为(2，0)，则它的离心率为________．
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，且过点A(0，1)．
.
，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．
，求椭圆的方程；
·
<7时，求椭圆离心率的取值范围．
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝
上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．
)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．