Question

（本小题满分15分）

如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、。点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.

       （I）求椭圆的标准方程；

       （II）设直线、的斜线分别为、.

              （i）证明：；

              （ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：因为椭圆过点（1，），，所以，，

又， 所以，，故所求椭圆方程为

（Ⅱ）（i）解：方法一：由于、，、的斜率分别为、，且点P不在轴上，所以，，，又直线、的方程分别为，，联立方程解得，所以P（，），由于点P在直线上，所以，因此即，结论成立。

方法二：设，则，因为点P不在轴上，所以

又所以 因此结论成立。

（ii）解：设，，，，

联立直线与椭圆的方程得，化简得，

因此，由于OA，OB的斜率存在，所以，，因此，1因此

。

相似地可以得到，，因此，1，

故

若，须有或，

①当时，结合（i）的结论，可得，所以解得点P的坐标为（0,2）；

②当时，结合（i）的结论，解得或（此时，不满足，舍去），此时直线CD的方程为，联立方程得，。

因此P（）。

综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0,2），（）。