题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$ ，点 $数学公式$ 在直线 $数学公式$ 上，数列{b_n}满足： $数学公式$ 且 $数学公式$ ．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（III）求{b_n}的通项公式；并探求数列{b_n}的前n和的最小值．

（I）解：点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，
得到 $\text{[math]}$ （1分）
所以，{a_n}为公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，（2分）
所以， $\text{[math]}$ （3分）
（II）证明：∵b_n-a_n= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∵b₁-a₁=-30，
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
（III）解：由（II）知， $\text{[math]}$
所以， $\text{[math]}$ （8分）
采用分组求和法，可以求数列{b_n}的前n和 $\text{[math]}$ （9分）
$\text{[math]}$ （10分）
当n=1，2时， $\text{[math]}$ ，
则T_n递减，即T₁＞T₂＞T₃，
当n≥3时， $\text{[math]}$ ，
则T_n递增，即T₃＜T₄＜T₅＜…，
故T₃=- $\text{[math]}$ 最小．
分析：（I）由点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，得到 $\text{[math]}$ ，所以，{a_n}为公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，由此能求出{a_n}的通项公式．
（II）由b_n-a_n= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．且b₁-a₁=-30，由此能够证明数列{b_n-a_n}是以-30为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
（III）由（II）知， $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ ，采用分组求和法，可以求数列{b_n}的前n和 $\text{[math]}$ ，故T₃=- $\text{[math]}$ 最小．
点评：本题考查数列通项公式的求法和等比数列的证明，探求数列{b_n}的前n和的最小值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．