Question

18．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，B=$\frac{π}{3}$且sin2A+sin（A+C）=sinB，则△ABC的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知化简可得sin2A=0，即A=90°，从而可求C，由正弦定理可得c，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵锐角△ABC中，sin2A+sin（A+C）=sinB，
∴2sinAcosA=sin（A+C）-sin（A+C），
∴sin2A=0，即A=90°．
再由b=2，B=$\frac{π}{3}$ 可得C=$\frac{π}{6}$，
故由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{2×sin\frac{π}{6}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．