Question

已知点P（x，y）为双曲线（b为正常数）上任一点，F₂为双曲线的右焦点，过P₁作右准线的垂线，垂足为A，连接F₂A并延长交y轴于P₂。

（1） 求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程；
（2） 设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N 两点，求证：以MN为直径的圆过两定点。

Answer 1

解：（1）由已知得，
则直线的方程为：，
令得，
即，
设，则，
即代入得：，
即P的轨迹E的方程为。
（2）在中令得，则不妨设，
于是直线QB的方程为：，
直线QD的方程为：，
则，
则以为直径的圆的方程为：，
令得，
而在上，
则，
于是，
即以MN为直径的圆过两定点。