Question

9．已知函数f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设x≥1，讨论曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为f'（x）=2x-$\frac{8}{x}$，求出切线的斜率．继而得到切线方程．
（Ⅱ）因为f'（x）=$\frac{2（x+2）（x-2）}{x}$，求出函数f（x）的单调区间，又由题意知有含参数的单调区间，继而求出参数范围．
（Ⅲ）当x≥1时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数方程2x²-8lnx-14x=m根的个数．转化思路，对曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数讨论．

解答 解：（Ⅰ）因为f'（x）=2x-$\frac{8}{x}$，所以切线的斜率k=f'（1）=-6…（2分）
又f（1）=1，故所求切线方程为y-1=-6（x-1），即y=-6x+7 …（4分）
（Ⅱ）因为f'（x）=$\frac{2（x+2）（x-2）}{x}$，又x＞0，所以当x＞2时，f'（x）＞0；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0．即f（x）在（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减…（6分）
又g（x）=-（x-7）²+49，所以g（x）在（-∞）上递增，在（7，+∞）上递减…（7分）
欲f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a+1≤7}\end{array}\right.$，
解得2≤x≤6…（8分）
（Ⅲ）当x≥1时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数方程2x²-8lnx-14x=m根的个数，
令h（x）=2x²-8lnx-14x，方程即为h（x）=m．
又$h'（x）=4x-\frac{8}{x}-14=\frac{2（x-4）（2x+1）}{x}$，且x＞0，所以当x＞4时，h'（x）＞0；
当0＜x＜4时，h'（x）＜0，即h（x）在（4，+∞）上递增，在（0，4）上递减．
故h（x）在x=4处取得最小值，且h（1）=-12   …（10分）
所以对曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数，讨论如下：
当m∈（-∞，-16ln2-24）时，有0个公共点；
当m=-16ln2-24或m∈（-12，+∞）时，有1个公共点；
当m∈（-16ln2-24，-12]时，有2个公共点．…（12分）

点评 本题主要考查导数的几何意义和利用导数求参数的取值范围等问题，属于难题，在高考中常以压轴题出现．