Question

已知椭圆的两焦点为F1(-

3

，0)， F2(

3

，0)，P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4
（1）求此椭圆方程．
（2）若∠F1PF2=

π

3

，求△F₁PF₂的面积（要有详细的解题过程）

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得a和c，进而根据b，a和c的关系，则b可得，进而求得椭圆的方程．
（2）由余弦定理结合椭圆的定义，经整体运算可求得|PF₁|•|PF₂|的值，进而求其面积．

解答：解：（1）依题意得c=

3

，2a=4，
解得a=2，c=

3

，从而b=1．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

1

=1．
（2）在△F₁PF₂中，由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos60°，
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=(2c)2=(2

3

)2=12 ①
又|PF₁|+|PF₂|=2a=4，平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，=2 ②，
②-①得3|PF₁|•|PF₂|=4，即 |PF1|•|PF2|=

4

3

，
∴△F₁PF₂的面积 S=

1

2

|PF1|•|PF2|sin60°=

3

3

．
∴∠F1PF2=

π

3

，△F₁PF₂的面积

3

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．还考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．本题将圆锥曲线与三角问题巧妙的交汇在一起，事实上，在椭圆中S=b²tanθ，同理可求得在双曲线中 S=

b2

tanθ

（其中 θ=

∠F1PF2

2

）．