Question

【题目】已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

若，试求点P的坐标；

求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；

求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）四边形PAMB面积的最小值为，P的坐标为；（3）见解析.

【解析】

设，连接MP，分析易得，即有，解可得m的值，即可得答案；

根据题意，分析易得，又由，当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，设出P的坐标，则有，解可得n的值，进而分析MP的最小值，求出四边形PAMB面积，即可得答案；

根据题意，分析可得：过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，设P的坐标为，用m表示过A，P，M三点的圆为，结合直线与圆位置关系，分析可得答案．

根据题意，点P在直线l上，

设，连接MP，

因为圆M的方程为，

所以圆心，半径．

因为过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B；

则有，，且，

易得≌，

又由，即，

则，

即有，

解可得：或，

即P的坐标为或；

根据题意，≌，则，

又由，

当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，

设此时P的坐标为；有，解可得，

即P的坐标为；

此时，则四边形PAMB面积的最小值为；

根据题意，PA是圆M的切线，则，则过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，

设P的坐标为，，

则以MP为直径的圆为，

变形可得：，即；

则有，解可得：或；

则当、和、时，恒成立，

则经过A，P，M三点的圆必过定点，且定点的坐标为和