Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，是否存在实数k和b使得数列{ a_n+kn+b}是等比数列，如存在，求出{a_n}的前n项和，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，及{a_n}是等差数列，可求其首项a₁和公差d；
（2）利用反证法，即可证得；
（3）假设存在，利用数列{a_n+kn+b}是等比数列，建立等式，即可求得{a_n}的前n项和

解答：（1）解：∵a_n+1=2a_n+n+1，∴a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
∵{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，∴2（2a₁+2）=a₁+（4a₁+7），∴a₁=-3，a₂=-4
∴d=a₂-a₁=-1；
（2）证明：假设{a_n}是等比数列，则a22=a1a3
∴（2a₁+2）²=a₁（4a₁+7），∴a₁=-4，a₂=-6，a₃=-9，
∵a₄=2a₃+4=-14，∴a32≠a2a4与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{a_n}不可能是等比数列；
（3）解：假设存在，则有

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b

=

2an+k(n+1)+k+b+1

an+kn+b

=常数
∴

k+1=2k k+b+1=2b

，∴

k=1 b=2

∴{a_n+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴a_n+n+2=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-n-2
∴{a_n}的前n项和为

2(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n-

n2

2

-

5n

2

-1

点评：本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．