题目内容
如图，有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，阴影部分面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）当x为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？
分析：（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；
（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法进行求解．
（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法进行求解．
解答：解：（1）S△AEH=S△CFG=
x2，（1分）
S△BEF=S△DGH=
（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=SABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-（a-x）（2-x）=-2x2+（a+2）x．（5分）
由
，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x2+（a+2）x，函数的定义域为{x|0＜x≤2}（8分）
（2）对称轴为x=
，又因为a＞2，所以
＞1
当1＜
＜2，即2＜a＜6时，则x=
时，y取最大值
．（9分）
当
≥2，即a≥6时，y=-2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，
则x=2时，y取最大值2a-4（11分）
综上所述：当2＜a＜6时，AE=
时，阴影部分面积最大值是
；
当a≥6时，x=2时，阴影部分面积取最大值2a-4（12分）
解：（1）S△AEH=S△CFG=| 1 |
| 2 |
S△BEF=S△DGH=
| 1 |
| 2 |
∴y=SABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-（a-x）（2-x）=-2x2+（a+2）x．（5分）
由
|
∴y=-2x2+（a+2）x，函数的定义域为{x|0＜x≤2}（8分）
（2）对称轴为x=
| a+2 |
| 4 |
| a+2 |
| 4 |
当1＜
| a+2 |
| 4 |
| a+2 |
| 4 |
| (a+2)2 |
| 8 |
当
| a+2 |
| 4 |
则x=2时，y取最大值2a-4（11分）
综上所述：当2＜a＜6时，AE=
| a+2 |
| 4 |
| (a+2)2 |
| 8 |
当a≥6时，x=2时，阴影部分面积取最大值2a-4（12分）
点评：本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．
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