Question

（2014•广东模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=

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AD，PA=PD，E，F为AD，PC的中点． 
（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：AD⊥PB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接AC交BE于O，由条件证明四边形ABCE为平行四边形，O为AC中点，OF∥PA，再根据直线和平面平行的判定定理证明PA∥平面BEF．
（Ⅱ）连接PE，证明AD⊥PE，AD⊥BE，再根据直线和平面垂直的判定定理证得AD⊥平面PBE，再利用直线和平面垂直的性质定理证得AD⊥PB．

解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，∵BC∥AD，BC=

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2

AD，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，…（1分）
∴O为AC中点． …（2分）
又∵F为AD中点，∴OF∥PA．…（4分）
∵OF?平面BEF，PA?平面BEF，…（5分）∴PA∥平面BEF． …（7分）
（Ⅱ）连接PE，∵PA=PD，E为AD中点，∴AD⊥PE．…（8分）
∵

BC∥AD，BC= 1 2 AD

，E为AD的中点，∴BCDE为平行四边形，∴BE∥CD．
∵AD⊥CD，∴AD⊥BE．

…

（9分）
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，…12 分
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB． …14 分

点评：本题主要考查证明线线垂直、线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．