Question

已知数列{a_n}满足

1

an

-an=2

n

，且a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：a1+a2+…+an＜

n

；
（3）数列{a_n}是否存在最大项？若存在最大项，求出该项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件逐步化简，然后根据a_n＞0可以求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）中数列an的通项公式先求出前n项和的表达式，然后利用不等式的性质便可证明

n

i=1

ai＜

n

；
（3）由前面求得的a_n的通项公式便可得出数列a_n为递减数列，故可知当n=1时数列{a_n}存在最大项，且最大项为a₁．

解答：解：（1）由

1

an

-an=2

n

得an2+2

n

an-1=0
得an=

-2 n ± 4n+4

2

=-

n

±

n+1

，
∵a_n＞0
∴an=

n+1

-

n

（2）∵an=

n+1

-

n

，

n

i=1

ai=a1+a2++an=(

2

-1)+(

3

-

2

)++(

n+1

-

n

)=

n+1

-1
∵

n+1

-1-

n

=

1

n+1 + n

-1＜0
∴

n

i=1

ai＜

n

（3）∵an=

n+1

-

n

∴

an+1

an

=

n+2 - n+1

n+1 - n

=

( n+2 - n+1 )( n+2 + n+1 )( n+1 + n )

( n+2 + n+1 )( n+1 + n )( n+1 - n )

=

n+1 + n

n+2 + n+1

∵n∈N^*，∴

n+1

+

n

＜

n+2

+

n+1

∴

an+1

an

＜1，
∵a_n＞0，
∴a_n+1＜a_n，n∈N^*即a₁＞a₂＞a₃＞…＞a_n＞a_n+1
∴数列{a_n}有最大项，最大项为第一项a1=

2

-1．

点评：本题考查了数列的递推公式以及数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列和函数的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．