Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把边转化成角的正弦，化简整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，进而求得B．
（Ⅱ）先利用二倍角公式对原式进行化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin²A+cos（A-C）的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C）=sinB，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中，sinB≠0，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

∴2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A-

2π

3

)
=1-cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=1+

3

2

sin2A-

3

2

cos2A
=1+

3

sin(2A-

π

3

)，
∵0＜A＜

2π

3

，-

π

3

＜2A-

π

3

＜π
∴-

3

2

＜sin(2A-

π

3

)≤1
∴2sin²A+cos（A-C）的范围是(-

1

2

，1+

3

]．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题，利用三角函数的特殊性质求得答案．