Question

已知函数f（x）=1-

a

3x+1

是定义域为实数集的奇函数，
（1）求a的值；
（2）判断函数f （x）的单调性并证明；
（3）当x∈[-1，2）时，求函数f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，即可求a的值；
（2）利用导数大于0，即可确定函数的单调性；
（3）利用f （x）是[-1，2）上的增函数，即可求函数f （x）的值域．

解答：解：（1）∵函数f （x）是奇函数，∴f （-x）=-f （x），即1-

a

3-x+1

=-1+

a

3x+1

，
∴2=

a

3x+1

+

a•3x

3x+1

，
∴

a•(3x+1)

3x+1

=2
∴a=2；
（2）f （x）是R上的增函数，证明如下：
∵a=2，∴f（x）=1-

2

3x+1

，∴f′（x）=

(2ln3)•3x

3x+1

＞0
∴f （x）是R上的增函数
（3）由（2）知f （x）是[-1，2）上的增函数，
∵f （-1）=-

1

2

，f （2）=

4

5

∴当x∈[-1，2）时，函数f （x）的值域是[-

1

2

，

4

5

）．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的值域，属于中档题．