Question

已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A．x-2y+1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-3=0
D．x+2y-3=0

Answer 1

【答案】分析：由题设中所给的条件m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t取最小值时，求出点（m，n）的坐标，由于此点是其所在弦的中点，故可以用点差法求出此弦所在直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程，整理成一般式即可．
解答：解：由已知得s+t=（s+t）（）=（m+n++）≥（m+n+2）=（+）²，
由于s+t的最小值是，
因此（+）²=，即+=2，又m+n=2，
所以m=n=1．
设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则有 ==1，即x₁+x₂=y₁+y₂=2①．
又该两点在双曲线上，则有，，
两式相减得 -=0②，
把①代入②得 =，
即所求直线的斜率是，所求直线的方程是y-1=（x-1），即x-2y+1=0．
故选A
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，求解本题的关键有二，一是利用基本不等式与最值的关系求出参数的值，一是利用点差法与中点的性质求出弦所在直线的斜率，点差法是知道中点的情况下常用的表示直线斜率的方法，其特征是有中点出现，做题时要善于运用．