Question

设函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），已知f（1）=2，求f（

1

2

），f（

1

4

）．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），f（1）=2，易判断出f（x）≥0，x∈[0，1]，令x=

1

2

，可得f（

1

2

），令x=

1

4

，可得f（

1

4

）．

解答：解：由f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），x₁，x₂∈[0，

1

2

]
∴f（x）=f（

x

2

）•f（

x

2

）≥0，x∈[0，1]
∴f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=f²（

1

2

）=2，
∴f（

1

2

）=

2

同理可得f（

1

2

）=f²（

1

4

）．
∴f（

1

4

）=

4	2

点评：本题考查的知识点是函数的值，抽象函数的应用，其中根据已知中f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），结合抽象函数求值的方法，利用“凑”的思想，建立已知与未知的联系，是解答本题的关键．本题易忽略对函数值符号的判断，而错解为f（

1

2

）=±

2

，f（

1

4

）=±

4	2

．