题目内容

设函数f（x）满足f（-x）=f（x），且当x≥0时， $数学公式$ ，又函数g（x）=|xsinπx|，则函数h（x）=f（x）-g（x）在 $数学公式$ 上的零点个数为

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

B
分析：依题意可知，f（x）、g（x）均为偶函数，将h（x）=f（x）-g（x）在 $\text{[math]}$ 上的零点个数转化为f（x）、g（x）在 $\text{[math]}$ 上的交点个数即可．
解答：∵f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；
又g（x）=|xsinπx|，
同理可得g（x）为偶函数．
令h（x）=f（x）-g（x）=0，x∈[- $\text{[math]}$ ，2]，
则h（x）=f（x）-g（x）在[- $\text{[math]}$ ，2]上的零点个数就是函数f（x）与g（x）在[- $\text{[math]}$ ，2]上的交点个数．
当x=0时，f（0）= $\text{[math]}$ =1，g（0）=|0×sin0|=0，f（0）＞g（0）；
当x= $\text{[math]}$ 时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，g（ $\text{[math]}$ ）=| $\text{[math]}$ ×sin $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，f（ $\text{[math]}$ ）=g（ $\text{[math]}$ ），
∴f（x）与g（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上有一个交点；
同理可得，f（x）与g（x）在[ $\text{[math]}$ ，1]，[1， $\text{[math]}$ ]，[ $\text{[math]}$ ，2]上各有一个交点；
又f（x）、g（x）均为偶函数，
∴f（x）与g（x）在[- $\text{[math]}$ ，0]上有一个交点；
综上所述，f（x）与g（x）在[- $\text{[math]}$ ，2]上有五个交点．
故选C．
点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数的奇偶性，考查转化思想与抽象思维能力的综合应用，属于难题．