题目内容
f(x)=
sin3ωx+3cos3ωx（ω＞0，x∈R）
（1）当ω=1时，求f（x）的最大值和最小值并求出此时的x值；
（2）f（x）在（0，
）上是增函数，求ω最大值．
| 3 |
（1）当ω=1时，求f（x）的最大值和最小值并求出此时的x值；
（2）f（x）在（0，
| π |
| 3 |
分析：（1）利用两角和与差的正弦可将f（x）=
sin3ωx+3cos3ωx转化为f（x）=2
sin（3ωx+
），从而可求当ω=1时，f（x）的最大值和最小值及对应的x值；
（2）利用正弦函数的单调性质可求得f（x）的单调递增区间为：[
-
，
+
]，利用f（x）在（0，
）上是增函数即可求得ω最大值．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）利用正弦函数的单调性质可求得f（x）的单调递增区间为：[
| 2kπ |
| 3ω |
| 5π |
| 18ω |
| 2kπ |
| 3ω |
| π |
| 18ω |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵f（x）=
sin3ωx+3cos3ωx
=2
（
sin3ωx+
cos3ωx）
=2
sin（3ωx+
），
∴当ω=1时，f（x）=2
sin（3x+
），
∴当3x+
=2kπ-
，即x=
-
（k∈Z）时，f（x）的最小值为-2
；
当3x+
=2kπ+
，即x=
+
（k∈Z）时，f（x）的最大值为2
；
（2）∵f（x）=2
sin（3ωx+
），ω＞0，
∴由2kπ-
≤3ωx+
≤2kπ+
（k∈Z）得，
-
≤x≤
+
（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为：[
-
，
+
]；
又f（x）再（0，
）上单调递增，
∴
≥
，又ω＞0，
∴ω≤
，
∴ωmax=
．
| 3 |
=2
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=2
| 3 |
| π |
| 3 |
∴当ω=1时，f（x）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
∴当3x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2kπ |
| 3 |
| 5π |
| 18 |
| 3 |
当3x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2kπ |
| 3 |
| π |
| 18 |
| 3 |
（2）∵f（x）=2
| 3 |
| π |
| 3 |
∴由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 2kπ |
| 3ω |
| 5π |
| 18ω |
| 2kπ |
| 3ω |
| π |
| 18ω |
∴f（x）的单调递增区间为：[
| 2kπ |
| 3ω |
| 5π |
| 18ω |
| 2kπ |
| 3ω |
| π |
| 18ω |
又f（x）再（0，
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 18ω |
| π |
| 3 |
∴ω≤
| 1 |
| 6 |
∴ωmax=
| 1 |
| 6 |
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目