Question

已知正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与SA所成角的大小是

π

4

．

Answer 1

分析：线根据题意正确的做出图形在取AC得中点G连接AE，EF，FG，GE，BG则根据异面直线所成的角的定义可得∠FEG或其补角即为异面直线EF与SA所成角，最后再通过解三角形求出∠FEG即可．

解答：解：设正三棱锥S-ABC的侧棱长为a则SA=SB=SC=AB=BC=AC=a

（如上图）取AC得中点G连接AE，EF，FG，GE，BG
∵E，F分别为SC，AB的中点
∴FG

∥

.

BC，GE

∥

.

SA且FG=

1

2

a=GE
∴∠FEG或其补角即为异面直线EF与SA所成角
∵正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，E，F分别为SC，AB的中点
∴EA=EB
∴EF⊥AB
∵EA=

SA2-SE2

=

3

2

a，AF=

1

2

a
∴EF=

EA2-AF2

=

2

2

a
∴FG²+GE²=EF²
∵FG=GE
∴∠FEG=

π

4

故答案为

π

4

点评：本题主要考察了求异面直线所成的角，属常考题型，较难．解题的关键是根据异面直线所成的角的定义做出异面直线EF与SA所成角的平面角但要注意的是异面直线所成的角的范围（0，

π

2

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