Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，且a_n+1-3a_n=3ⁿ，（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=3^-na_n．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设Sn=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

+…+

an

n+2

，求满足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）由b_n=3^-na_n得a_n=3ⁿb_n，则a_n+1=3ⁿ⁺¹b_n+1．由此入手，能够证明数列{b_n}是等差数列；
（2）因为数列{b_n}是首项为b₁=3^-1a₁=1，公差为

1

3

等差数列，所以bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，a_n=3ⁿb_n=（n+2）×3^n-1．由此能手能够求出满足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整数n的值．

解答：（1）证明：由b_n=3^-na_n得a_n=3ⁿb_n，则a_n+1=3ⁿ⁺¹b_n+1．
代入a_n+1-3a_n=3ⁿ中，得3ⁿ⁺¹b_n+1-3ⁿ⁺¹b_n=3ⁿ，
即得bn+1-bn=

1

3

．
所以数列{b_n}是等差数列．（6分）

（2）解：因为数列{b_n}是首项为b₁=3^-1a₁=1，公差为

1

3

等差数列，
则bn=1+

1

3

(n-1)=

n+2

3

，则a_n=3ⁿb_n=（n+2）×3^n-1．（8分）
从而有

an

n+2

=3n-1，
故Sn=

a1

3

+

a2

4

+

a3

5

++

an

n+2

=1+3+32++3n-1=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．（11分）
则

Sn

S2n

=

3n-1

32n-1

=

1

3n+1

，
由

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

，得

1

128

＜

1

3n+1

＜

1

4

．
即3＜3ⁿ＜127，得1＜n≤4．
故满足不等式

1

128

＜

Sn

S2n

＜

1

4

的所有正整数n的值为2，3，4．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式．