Question

已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上,右准线方程为x=1,倾斜角为的直线L交椭圆C于P、Q两点,且线段PQ的中点坐标为(－，)。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A为椭圆C的右顶点。M、N为椭圆C上两点，且|OM|、|OA|、|ON|三者的平方成等差数列,试判断直线OM与ON斜率之积的绝对值是否为定值?如果是,请求出定值；若不是,请说明理由。

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设椭圆方程为=1(a>b>0)            ① 直线L的方程为y－, 即y=x+                                      ② 由①、②得 (a2+b2)x2+a2x+a2－a2b2=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则 xl+x2=－, 即a2=2b2                                         ③ 又由C的准线方程为x=1,得 =1,即c=a2。                                    ④ 又a2=b2+c2                                        ⑤ 由③、④、⑤得 a2=,b2= ∴椭圆C的方程为2x2+4y2=1 (2)证法一：设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则 2x32+4y32－1,2x42+4y42=l 以上两式相加，整理得 x32+x42+2(y32+y42)=1                             ⑥ ∵|OM|、|OA|、|ON|三者的平方成等差数列， ∴|OM|2+|ON|2=|OA|2 又A为椭圆C的右顶点|OA|2= ∴|OM|2+|ON|2=。 ∴(x32+x42)+(y32+y42)=                  ⑦ 由⑥、⑦，解得 x32+x42=,y32+y42= ∵x32·x42=()2(1－4y32)(1－4y42) =[1—4(y32+y42)+16y32y42] =4y32y42, ∴, 即|kOP·kOQ|=|为定值。 证法二：设M(x3,y3)，N(x4,y4)， 则k1=,2x32+4y32=1 ∴2x32+4k12x32=1， x32= 同理，得 x42= 由|OM|2+|ON|2=|OA|2，得 x32+y32+x42+y42= ∴ 即 解得k12k22= ∴|k1k2|=为定值。 证法三：设M（cos,sin),N(cosβ,sinβ)，则由|OM|2+|ON|2=|OA|2。得 x32+y32+x42+y42= ∴cos2+sin2+cos2β+sin2β= ∴cos2－sin2β=0, 即cos2β－sin2=0 又∵k1=tana,k2=tanβ, ∴tan2tan2β=·= ∴|k1k2|=为定值。