Question

（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直线l₁交函数f（x）的图象于P，Q两点，与l₁平行的直线l₂与函数f（x）的图象切于点R，求证 P，R，Q三点的横坐标成等差数列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

44

+…+

lnn

n4

＜

1

e

〔其中n≥2，n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），知f′（x）=-4x+4，设切点R（x₀，y₀）则kl1=kl2=-4x₀+4．由此入手能够证明P、R、Q三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）由f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，令F（x）=2x²-alnx（x＞0），则F′(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．由F′（x）=0，得x=

2

2

．由此利用不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由（2）知当a=2e时，2x²-2elnx≥0，得

lnx

x4

≤

1

e

•

1

x2

，由此能够证明

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

44

+…+

lnn

n4

＜

1

e

．

解答：（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），
∴f′（x）=-4x+4，设切点R（x₀，y₀）
则kl1=kl2=-4x₀+4．
令l₂：y=（-4x₀+4）x+b．
联立

y=(-4x0+4)x+b y=-2x2+4x

，消去y得 2x²-4x₀x+b=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2x₀，
即P、R、Q三点的横坐标成等差数列．  （4分）
（Ⅱ）解：由已知有f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，
令F（x）=2x²-alnx（x＞0），
则F′(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．
由F′（x）=0，得x=

2

2

．
当0＜x＜

2

2

时，F′（x）＜0，F（x）在区间（0，

a

2

）上递减；
当x＞

a

2

时，F′（x）＞0，F（x）在区间（

a

2

，+∞）上递增．
∴F_min=F（

a

2

）=

a

2

-aln

a

2

≥0，得0＜a≤4e．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=2e时有2x²-2elnx≥0，得

lnx

x4

≤

1

e

•

1

x2

，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

44

+…+

lnn

n4

≤

1

e

(

1

22

+

1

3 2

+

1

42

+…+

1

n2

)
＜

1

e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

)
=

1

e

(1-

1

n

)＜

1

e

．  （14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．