Question

【题目】已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）将已知条件转化为等比数列的基本量来表示，通过解方程组得到其值，从而确定通项公式；（2）将数列{an}的通项公式代入可求得，根据特点采用错位相减法求得前n项和，代入不等式Sn＋（n＋m）an＋1<0，通过分离参数的方法求得m的取值范围

试题解析：（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有，代入

可得，解得或，又数列单调递增，数列的通项公式为

（2）∵bn＝2n·＝－n·2n，

∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1．②

①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2．

∵Sn＋（n＋m）an＋1<0，∴2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0对任意正整数n恒成立．

∴m·2n＋1<2－2n＋1对任意正整数n恒成立，即m<－1恒成立．

∵－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范围是（－∞，－1]．