Question

已知函数f(x)=

3

lnx(x≥1)，若将其图象绕原点逆时针旋转θ∈(0，

π

2

)角后，所得图象仍是某函数的图象，则当角θ取最大值θ₀时，tanθ₀=（　　）

• A．

  3

• B．

  3

  3

• C．

  3

  e

• D．

  e

  3

Answer 1

分析：若函数f（x）逆时针旋转角θ后所得曲线仍是一函数，根据函数的定义中的“唯一性”可得函数f（x）的图象与任一斜率为tanθ的直线y=tanθx+b均不能有两个以上的交点，进而可得答案．

解答：解：由题意可得：
当函数f(x)=

3

lnx(x≥1)上动点P（x，

3

lnx）与原点连线与函数f(x)=

3

lnx(x≥1)的图象相切时
旋转角θ取最大值θ₀，
此时

3 lnx

x

=f′（x）=

3

x

解得x=e
此时tanθ₀=

3

e

故选：C

点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f（x）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b均不能有两个以上的交点，是解答本题的关键．