Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和S_n满足条件

S2n

Sn

=4，n=1，2，…
（1）求数列{a_n}的通项公式和S_n；
（2）记b_n=an•2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由

S2n

Sn

=4得：

a1+a2

a1

=4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂-a₁=2，所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
∴Sn=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（2）由b_n=an•2n-1，得b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴T_n=1+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1       ①
2T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ    ②
①-②得：-T_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=2（1+2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ-1
=

2(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ-1
∴-T_n=2ⁿ•（3-2n）-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．