Question

设函数．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，化为．（1分）
当a=1时，不等式化为，解集为{x|x＞-1}．（3分）
当a＞1时，有，解集为．（5分）
当a=-1时，不等式化为 ，解集为{x|x∈R，x≠-1}．（8分）
当a＜-1时，有，a-1＜0，
不等式的解集为{x|x＜-1，或 x＞}．（10分）
（Ⅱ）任取 0＜x₁＜x₂，且 则（11分）
=．（12分）
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上有 x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有当a+1＜0时，即a＜-1时．才总有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴当a＜-1时，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（14分）
分析：（Ⅰ）把不等式化为化为，分a=1、a＞1、a=-1、a＜-1四种情况，分别求出解集．
（Ⅱ）任意取0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=，要使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，
只有a+1＜0，由此求得a的取值范围．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的单调性的证明方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．