Question

【题目】已知函数在上有最大值1和最小值0，设.

(1)求的值；

(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围；

(3)若方程 (为自然对数的底数)有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 的值分别为1、0.(2) .(3) .

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于实数m,n的方程组，求解方程组可得的值分别为1、0.

(2)由题意换元，令，结合换元之后的不等式的解集可得实数的取值范围是.

(3) 记，原问题等价于，求解不等式组可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1），当时， 在上是增函数，∴，

即，解得，

当时， ，无最大值和最小值；

当时， 在上是减函数，∴，即，解得，

∵，∴舍去.

综上， 的值分别为1、0.

（2）由（1）知，∴在上有解等价于

在上有解，

即在上有解，令，则，

∵，∴，记，∵，∴，

∴的取值范围为.

（3）原方程可化为，令，则，

由题意知有两个不同的实数解 ， ，

其中， 或， ，

记，则得.