题目内容

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA= $数学公式$ ，E为PC的中点．
（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；
（2）求C点到平面PBD的距离．

解：（1）如图，连AC，BD交于点O，又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC，且点O是AC的中点，连接OE，又E为PC的中点，所以EO∥PA．
由PA⊥底面ABCD，可得EO⊥底面ABCD
以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则有O（0，0，0），A（ $\text{[math]}$ ），B（0，1，0），C（ $\text{[math]}$ ），D（0，-1，0），P（ $\text{[math]}$ ），E（0，0， $\text{[math]}$ ）
依题意得 $\text{[math]}$ 即为平面PAC的一个法向量
又 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ 直线DE与平面PAC所成角的大小为30°
（2）由（1）知， $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ 为平面PBD的一个法向量
由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
令x=1，取 $\text{[math]}$ ∴C点到平面PBD的距离为d，
则 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连AC，BD交于点O，以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．用坐标表示点与向量，求出平面PAC的一个法向量，进而利用向量的夹角公式，可求直线DE与平面PAC所成角的大小．
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ ，求出平面PBD的一个法向量
进而利用 $\text{[math]}$ 可求．
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面角，考查点面距离，关键是构建空间直角坐标系．