Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

 （a＞0，x＞0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）只要证明f（x）的导数在（0，+∞）上大于0即可；
（2）已知f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，转化为

1

a

-

1

x

≤2x在（0，+∞）上恒成立，利用常数分离法求出a的范围；

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0），
∴f′（x）=

1

x2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，得

1

a

-

1

x

≤2x，
∴

1

a

≤

1

x

+2x，只要求出

1

x

+2x在（0，+∞）上的最小值即可，
∴

1

x

+2x≥2

2

（当x=

2

2

时等号成立），
∴

1

a

≤2

2

，a＞0，
∴a≥

2

4

；

点评：此题考查利用导数证明函数的单调性，第二问涉及恒成立问题，需要用到转化的思想，此题是一道中档题；