Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（I）求c的值；
（II）求{a_n}的通项公式．
（III）由数列{a_n}中的第1、3、9、27、…项构成一个新的数列{b_n}，求的值．

Answer 1

解：（I）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=2．
（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立，所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）
（III）b_n=3^2n-2-3^n-1+2，
∴=9．
分析：（I）利用题设递推式分别表示出a₂和a₃，利用三者的等比关系求得c．
（II）分别表示很出a₂-a₁，a₃-a₂等，利用叠加法求得数列的通项公式．
（III）把利用（II）中数列{a_n}的通项公式，求得b_n}，代入到求得答案．
点评：本题主要考查了数列的递推式，数列的通项公式以及等比数列的性质．涉及了综合知识的运用．