Question

已知tan(

π

4

+α)=2，tanβ=

1

2

．
（1）求tan α的值；
（2）求

sin(α+β)

2sin αsin β+cos(α+β)

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得tan（

π

4

+α）=

1+tanα

1-tanα

=2，解得tanα=

1

3

．
（2）利用两角和差的三角公式把要求的式子化为

sinαcosβ+cosαsinβ

sinαsinβ+cosαcosβ

，即

tanα+tanβ

tanαtanβ+1

=

1 2 + 1 3

1 2 • 1 3 +1

，运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得 tan（

π

4

+α）=

1+tanα

1-tanα

=2，解得tanα=

1

3

．
（2）

sin(α+β)

2sin αsin β+cos(α+β)

=

sinαcosβ+cosαsinβ

2sinαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ

=

sinαcosβ+cosαsinβ

sinαsinβ+cosαcosβ

=

tanα+tanβ

tanαtanβ+1

=

1 2 + 1 3

1 2 • 1 3 +1

=

5

7

．

点评：本题主要考查两角和差的正切、余弦公式的应用，属于中档题．