Question

【题目】如图，已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），且点（﹣1， ）在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；
（3）若F1C⊥AB，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得a=2，将（﹣1， ）代入椭圆方程 ，解得：b= ，

∴椭圆E的标准方程：

（2）

解：由△CF1F2为等腰三角形，且k＞0，则点C在x轴下方，

1° 若丨F1C丨=丨F2C丨，则C（0，﹣ ）；

2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨，则丨CF2丨=2，C（0，﹣ ）；

3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨，则丨CF1丨=2，C（0，﹣ ）；

∴C（0，﹣ ）；

∴直线BC的方程y= （x﹣1），

由 ，得 或 ，

∴B（ ， ）

（3）

解：设直线AB的方程lAB：y=k（x+2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

∴xAxB=﹣2xB= ，xB= ，

yB=k（xB+2）= ，B（ ， ）

若k= ，则B（1， ），C（1，﹣ ），

由F1（﹣1，0），则 =﹣ ，F1C与AB不垂直；

∴ ，

由F2（1，0）， = ， =﹣ ，

∴直线BF2的方程 ，直线CF1的方程：

由 ，解得 ，

∴C（8k2﹣1，﹣8k）

又点C在椭圆上得 ，即（24k2﹣1）（8k2+9）=0，即 ，∵k＞0，

∴

【解析】（1）将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，求得C点坐标，设直线BC的方程，即可求得点B的坐标；（3）设直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，分别求得BF2及CF1方程，联立，求得C点坐标，代入椭圆方程，即可求得k的值．