Question

已知函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx
（1）求函数f（x）的最大值，并指出取到最大值时对应的x的值；
（2）若0＜θ＜

π

6

，且f(θ)=

4

3

，计算cos2θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据角的范围，即可求函数f（x）的最大值，及取到最大值时对应的x的值；
（2）由0＜θ＜

π

6

，f(θ)=

4

3

，可得sin(2θ+

π

6

)=

2

3

，再利用角的变换计算cos2θ的值．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)…（2分）
由0≤x≤

π

2

得，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

…（4分）
∴当2x+

π

6

=

π

2

时，f（x）_max=2，此时x=

π

6

…（6分）
（2）∵0＜θ＜

π

6

，…（8分）
∴

π

6

＜2θ+

π

6

＜

π

2

，
∴cos(2θ+

π

6

)＞0…（10分）
∵f(θ)=

4

3

，
∴sin(2θ+

π

6

)=

2

3

∴cos(2θ+

π

6

)=

5

3

…（11分）
∴cos2θ=cos[(2θ+

π

6

)-

π

6

]…（13分）
=

5

3

×

3

2

+

2

3

×

1

2

=

15 +2

6

…（14分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查角的变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．