Question

已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)函数y＝f(x)的图像在x＝4处的切线的斜率为，若函数g(x)＝x³＋x²[f′(x)＋]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

解析：(1)f′(x)＝ (x>0)，…………3分

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)；…………4分

当a<0时，f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；…………5分

当a＝0时，f(x)不是单调函数．……………………6分

(2)由f′(4)＝－＝，得a＝－2，则f(x)＝－2lnx＋2x－3，

∴g(x)＝x³＋(＋2)x²－2x，…………………………………………8分

∴g′(x)＝x²＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g′(0)＝－2<0，

∴……………………………………11分

∴故m的取值范围是(－，－3)．