Question

已知函数y=4^x-3•2^x+3，当其值域为[1，7]时，x的取值范围是

（-∞，0]∪[1，2]

．

Answer 1

分析：令t=2^x（t＞0），可得y=t²-3t+3，由函数的值域为[1，7]，得1≤t²-3t+3≤7，解出0＜t≤1或2≤t≤4．再将t还原成2^x，最后解关于x的不等式，即可得到实数x的取值范围．

解答：解：令t=2^x，可得y=4^x-3•2^x+3=t²-3t+3，（t＞0）
∵函数的值域为[1，7]，
∴解不等式1≤t²-3t+3≤7，可得

t2-3t+2≥0 t2-3t-4≤0

解此不等式组，得0＜t≤1或2≤t≤4
∴0＜2^x≤1或2≤2^x≤4，即0＜2^x≤2⁰或2¹≤2^x≤2²
因此，x的取值范围是（-∞，0]∪[1，2]
故答案为：（-∞，0]∪[1，2]

点评：本题给出含有指数式的“类二次”函数，在已知值域的情况下求x的取值范围，着重考查了指数函数、二次函数的图象与性质和不等式的解法等知识，属于中档题．