题目内容
锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（ ）
①sin3B=sinC；②tan
tan
=1；③
＜B＜
；④
∈[
，
]．
①sin3B=sinC；②tan
| 3B |
| 2 |
| C |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| A、①② | B、①②③ | C、③④ | D、①④ |
分析：由△ABC为锐角三角形可得
，由A=2B，可得C=π-3B，代入已知可求的B的范围，从而可判断③
由C=π-3B，利用正弦函数的诱导公式可判断①，利用正切函数的诱导公式可判断②
利用正弦定理可及二倍角公式化简可得，
=
=
=cosB，由③中B∈(
，
)结合余弦函数的单调性可求范围，从而判断④
|
由C=π-3B，利用正弦函数的诱导公式可判断①，利用正切函数的诱导公式可判断②
利用正弦定理可及二倍角公式化简可得，
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| 2sinBcosB |
| sinB |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
解答：解：∵△ABC中，A=2B∴C=π-（A+B）=π-3B
又∵△ABC为锐角三角形
解不等式可得
＜B＜
故③正确
∴sinC=sin（π-3B）=sin3B故①正确
tan
tan
=tan
tan
=tan
cot
=1，故②正确
=
=
=
=2cosB
由
＜B＜
可得
＜ cosB＜
故④错误
故答案为：①②③
又∵△ABC为锐角三角形
|
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
∴sinC=sin（π-3B）=sin3B故①正确
tan
| 3B |
| 2 |
| C |
| 2 |
| 3B |
| 2 |
| π-3B |
| 2 |
| 3B |
| 2 |
| 3B |
| 2 |
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| sin2B |
| sinB |
| 2sinBcosB |
| sinB |
由
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
故答案为：①②③
点评：本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，解三角形的基本工具：正弦定理，二倍角的正弦公式及由角的范围求三角函数值的范围，综合的知识点较多，但都是基本运用，要求考生熟练基本公式，灵活运用公式解题．
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