Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）的部分图象如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（-x）的单调区间及在x∈[-2，2]上最值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由图形可以求出A，T，根据周期解出ω，根据图象过（1，2），把这个点的坐标代入以及φ的范围求出φ，可得函数解析式．
（2）利用（1）求出函数y的解析式，通过角的范围x∈[-2，2]，确定函数的最大值以及相应的x 的值．

解答：解：（1）由图象知A=2，T=8，T=

2π

ω

=8，ω=

π

4

，又图象经过点（1，2）∴2sin(

π

4

+φ)=2，

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，即φ=2kπ+

π

4

，k∈Z∵|φ|＜π∴φ=

π

4

f(x)=2sin(

π

4

x+

π

4

)．…（7分）
（2）y=f(-x)=2sin(-

π

4

x+

π

4

)=-2sin(

π

4

x-

π

4

)
由2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，得8k-1≤x≤8k+3，k∈Z，故y=f（-x）在[8k-1，8k+3]，k∈Z上是减函数；
同理函数在[8k+3，8k+7]，k∈Z上是增函数．
∵x∈[-2，2]，由上可知当x=-1时，y=f（-x）取最大值2；
当x=2时，y=f（-x）取最小值-

2

．…（14分）

点评：题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查分析问题解决问题的能力，解题的关键是初相的求法要注意，本题是基础题．