Question

已知函数f（x）=kx+2，k≠0的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且，函数g（x）=x²-x-6．当满足不等式f（x）＞g（x）时，求函数y=的最小值．

Answer 1

【答案】分析：首先根据向量坐标形式求出A、B两点的坐标，从而得到直线的斜率，得到函数f（x）的解析式．再设函数F（x）=，解出不等式f（x）＞g（x）得到x的区间就是F（x）的定义域，最后利用求导数的方法讨论F（x）的单调性，可得函数的最小值．
解答：解：设A（m，0），B（0，n）
∴，可得m=-2，n=2
点A坐标为（-2，0），B坐标为（0，2）
因此直线y=kx+2的斜率k==1，函数f（x）=x+2
∴不等式f（x）＞g（x）即x+2＞x²-x-6，解之得x∈（-2，4）
设F（x）=，其中x∈（-2，4）
则F（x）=，求导数得F'（x）=
当x∈（-2，-1）时，F'（x）＜0；当x∈（-1，4）时，F'（x）＞0，
∴F（x）在区间（-2，-1）上是减函数，在区间（-1，4）上是增函数
因此，当x=-1时，函数最小值为F（-1）=-3
点评：本题以向量的坐标运算为载体，求分式函数的最小值，着重考查了一元二次不等式的解法和分式函数单调性与最值求法等知识，属于中档题．