Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=2^x-2，若存在x₁∈（0，+∞），对于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴（x＞0）
若a=-1，
（Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数
当a＜0，令f^′（x）＞0，∴，f^′（x）＜0，∴，
综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-），单调减区间为（-）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，-），单调减区间为（-）
∴
由题意知，只需满足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=0，∴，
∴
综上：
分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，即可求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）分别求出函数的最大值，建立不等式，即可求a的范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．