Question

（2013•石景山区一模）已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
②由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．…（1分）
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；     …（3分）
②若a＞0，令f^′（x）=0得x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f^′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间(

1

a

，+∞)上，f^′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是(

1

a

，+∞)，递减区间是(0，

1

a

)．…（6分）
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f^′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，则

x-1-lnx

x

≥b       …（8分）
令g(x)=

x-1-lnx

x

=1-

1

x

-

lnx

x

，则g′(x)=-

1

x2

-

1-lnx

x2

=

lnx-2

x

      …（10分）
易得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，…（12分）
所以g（x）_min=g(e2)=1-

1

e2

，即b≤1-

1

e2

．                   …（13分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．