题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N⁺
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若bn= $数学公式$ +1，对任意正整数n，不等式 $数学公式$ - $数学公式$ ≤0恒成立，求正数k的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意，∵函数f（x）= $\text{[math]}$ ，a_n+1=f（a_n）
∴a_n+1= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵a₁=1，∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴ $\text{[math]}$ =n，∴ $\text{[math]}$
（II）∵b_n= $\text{[math]}$ +1，∴b_n=2n+1，
∴对任意正整数n，不等式 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤0恒成立等价于
$\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
记 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N^*上递增，
∴g（n）_min=g（1）= $\text{[math]}$
∴k∈（0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）= $\text{[math]}$ ，a_n+1=f（a_n），可得 $\text{[math]}$ ，从而数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，1为公差的等差数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（II）根据b_n= $\text{[math]}$ +1，可得b_n=2n+1，分离参数可得 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，再构造函数 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，证明g（n）在n∈N^*上递增，求出g（n）的最小值，即可求得正数k的取值范围．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列的判定和数列的函数特性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于中档题．