Question

某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2012年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2013年1月两个企业的产值再次相等．
（1）试比较2012年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由；
（2）甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2013年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为

n+49

10

元（n∈N^*），求前n天这台仪器的日平均耗费（含仪器的购置费），并求日平均耗资最小时使用的天数？

Answer 1

分析：（1）设从2012年1月到2013年1月甲企业每个月的产值分别为a₁，a₂，a₃，…，a₁₃，乙企业每个月的产值分别为b₁，b₂，…，b₁₃，根据题意可以确定{a_n}成等差数列，{b_n}成等比数列，利用等差中项和等比中项求出a₇和b₇，利用基本不等式即可比较大小，从而得到答案；
（2）设一共使用了n天，则根据题意列出n天的平均耗资的表达式，利用等差数列求和，和基本不等式，即可求得使用800天，平均耗资最小．

解答：解：（1）设从2012年1月到2013年1月甲企业每个月的产值分别为a₁，a₂，a₃，…，a₁₃，
乙企业每个月的产值分别为b₁，b₂，…，b₁₃，
∵甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，
∴{a_n}成等差数列，
∵乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，
∴{b_n}成等比数列，
根据等差数列的等差中项和等比数列的等比中项，
∴a7=

1

2

(a1+a13)，b7=

b1•b13

，
∵a₁=b₁，a₁₃=b₁₃，
∴a7=

1

2

(a1+a13)＞

a1•a13

=

b1•b13

=b7，即a₇＞b₇，
∴到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大；
（2）设一共使用了n天，n天的平均耗资为P（n），
∴P(n)=

32000+( 1+49 10 + 2+49 10 + 3+49 10 +…+ n+49 10 )

n

=

32000+ 49n 10 + n(n+1) 20

n

=

32000

n

+

n

20

+

99

20

≥2

32000 n × n 20

+

99

20

=

1699

20

，
当且仅当

32000

n

=

n

20

，即n=800时，P（n）取得最小值，
∴日平均耗资最小时使用了800天．

点评：本题主要考查了根据实际问题建立数学模型，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题同时考查了数列的应用，涉及等差数列以及等比数列的性质，等差数列求和，涉及基本不等式的应用．是一道综合性的题目．属于难题．